Представьте себя Иоганном Кеплером или Исааком Ньютоном, которые разглядывают астрономические схемы движения планет Солнечной системы и пытаются на основании этих (в тому же — неточных !!!) данных вывести закономерности орбитальной динамики. Вспомните насколько «просто» выглядит закон всемирного тяготения Ньютона, который вместе со его же 2-ым законом движения (в дифференциальной форме) позволяет неплохо моделировать движение небесных тел.
В некотором смысле, эта «историческая аналогия» неплохо иллюстрирует типовую ситуацию: исследователь пытается вывести строгие математические закономерности поведения динамической системы на основании имеющихся у него неполных и неточных сведений о «положениях» этой системы в некоторые моменты времени. Если наш исследователь имеет основания полагать, что эти закономерности имеют вид дифференциального уравнения, то ему понадобится определить вид правой части такого уравнения. Именно эту проблему, иногда, называют обратной задачей, т.к. здесь не требуется рассчитать траекторию (решая «прямую» задачу Коши), а, наоборот, по набору точек на траектории определить сам диффур.
В предлагаемая вашему разбору
статье намечаются способы решения таких обратных задач в рамках технологии сбалансированной идентификации математических моделей, которая, для краткости, названа SvF-технологией (Simplicity vs Fitting). Эта технология развивается сотрудниками нашего института уже несколько лет, доведена до программной реализации,
https://github.com/distcomp/SvF и ее
представлена на портале сервисов оптимизационного моделирования на платформе
Everest. Можно отметить, что SvF-технология успешно применяется в
различных исследованиях, где требуется построить структурную математическую модель изучаемого явления: в биологии, популяционной динамике, биологии растений, физике плазмы, метеорологии, экологии.
После опубликования предлагаемой к разбору статьи, изложенный там метод был доработан до случая обычных (а не только автономных) дифференциальных уравнений с одной или двумя переменными. При этом стало ясно, что предлагаемое тема решения обратных задач на основе конечномерной оптимизации подразумевает много возможностей для дипломных и, даже, кандидатских работ как по развитию численных методов «дискретизации», так и по важным вопросам их программной реализации с использованием современных солверов для задач математического программирования, включая задачи глобальной оптимизации.
По всем возникающим вопросам по этой теме можно обращаться к Владимиру Волошинову
@VladVol или
vladimir.voloshinov@gmail.com